牛顿发现的力学三定律和万有引力定律之后,开始继续细细思索其中的细节。
牛顿在想:“如果地球绕太阳转,不是真正的圆形,那就是一种椭圆,而且是一个不那么标准的变化的椭圆。”
“我应该如何细细计算这个东西呢?”想着,牛顿拿出了纸和笔,开始在纸上画出太阳、地球和地球绕太阳转动的椭圆轨道。
牛顿继续陷入沉思:“如何才能知道椭圆轨道上地球所在每个地方的速度?”
牛顿看着椭圆轨道图,知道地球在椭圆轨道上每个速度都不一样,近地点的很快,远地点的很慢。想求顶多只能知道地球绕太阳一圈的平均速度。
“有没有一种可以直接计算出地球所在不同位置所对应的速度呢?做出一个随时间或者是位置变化的速度图。”
牛顿知道从近地点到远地点的速度时由快变慢的,从远地点到近地点的速度时有慢到快的,过程中总能量不会变化。
牛顿开始在图纸上话速度随时间变化的图:“这个变化如何去知道?”
“受力一直也在变化,那么加速度就在变化,所以速度也在变化。只要知道受力是如何改变的,才能知道速度如何去变。”
根据自己的万有引力定理,很容易就可以得到力学变化的结果。跟地球太阳的距离平方的反比有关系。
在此过程中,牛顿认为地球速度在发生变化,这种变化就叫它“流数”。地球流数是跟地球与太阳之间的力有关。
牛顿此刻知道,时间绝大多数的运动,都不是匀速的和简单加速度的,而是很多变加速,就算不是不规则的,也是有很多规则的变加速运动的。牛顿此刻知道,自己需要攻克规则情况下的变加速运动成为了自己的重要任务。
牛顿画出了一个任意曲线,望着这个曲线发呆:“如果一个物体的运动是按照这个曲线来的,如何去求每时每刻的速度?”他觉得每个函数可以切割开来,而切割的出来的一微小的长度,就是一个直线的。
牛顿拿着石头在这个曲线上移动,心里深知这个石头会有速度上的变化:“这种变化的差异,本质到底是什么?”
希腊的阿基米德等人也思考过这个问题,牛顿按照他们的思路继续往下走:“如果把这个速度量无限的分下去。那前后之间的速度差异就会越来越少,甚至变成0长度的情况下,速度之间就会没有差异了。”
牛顿眉头紧皱:“这又是什么意思?微分成无限,速度前后差异为0?怎么会这样?”
“这个时候就会有一个纯粹的速度,也就是说,在每个点,速度差异都为0,仅仅是有一个瞬时速度。”
牛顿在图上画出了曲线上每个点的斜率,心里明白,所有的玄机都在曲线的斜率上。这个斜率就是运动物的纯粹速度。
“如果有关于斜率的方程,不就发现运动物的速度方程了吗?”
牛顿想:“如果不规则曲线方程,没办法直接写出斜率方程。那规则的方程是不是可以写出斜率方程呢?”
牛顿画出了一个二次方程,知道无题做二次方程运动,速度肯定会变。然后在方程上取出两点自变量,再找到方程上对应的因变量,然后让自变量两个点互相接近,接近到无穷之时,看到两个因变量也相互接近,成为一点,牛顿画出了切线。
牛顿写出这两个即将合并的点的导数方程,就是两个因变量的差比两个自变量的差,也就是这合并为一个点的斜率,就是这个点所在的导数,也是这个点此刻的真正速度。
反过来想,如果知道初速度,然后知道变化量,自然而然就知道这个东西的运动轨迹了。
牛顿继续想,在分割曲线的过程中,无数个被分割的都近似等于梯形。再往细处分割,无限等于长方形。如果吧这无穷个长方形加起来,就可以算出这个曲线所包含的面积了。