费马跟梅森说:“我又发现一个有趣的东西?”
梅森习以为常的说:“我知道,你一直在发现很多东西。”
费马说:“我发现一个多边形数。”
梅森说:“那先解释什么是多边形数?”
费马说:“一个圆点只有一个点,所以多边形数为一。一个三角形数需要在这个点外伸出两个点,所以为多边形数为3,如果再往外延伸,需要再加三个点,得到六个点,多边形数为六。”
一面说,费马一面画出三角形数的图形。
梅森说:“为什么是这样的?你规定了什么?”
费马说:“这个多边形为三角形的时候,点与点直接距离相等。”
梅森说:“然后为10,再然后为15等等。”
费马说:“正确。”
不一会儿两个人还是画出四边形、五边形、六边形的数分别都是:
四边形数为1、4、9、16、25等
五边形数为1、5、12、22、35等
六边形数为1、6、15、28、45等
梅森说:“你这样要做什么?”
费马说:“每一个正整数都可以表示为最多n个n边形数的和。每一个正整数一定可以表示为不超过三个的三角形数之和、不超过四个的平方数之和、不超过五个的五边形数之和,依此类推。”
梅森说:“原来你还在研究平方数和的一些规律呀!”
费马说:“没错。”
梅森说:“你打个比方,我听听。”
费马说:“两个个三角形数的例子,例如17=10+6+1,4=1+3。一个众所周知的特例,是四平方和定理,它说明每一个正整数都可以表示为最多四个平方数之和,例如7=4+1+1+1。”
梅森说:“你证明了吗?”
费马说:“证明的事情恐怕要交给后人了。”
拉格朗日在1770年证明了平方数的情况,高斯在1796年证明了三角形数的情况,但直到1813年,柯西才证明了一般的情况。
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